توابع مثلثاتی/تساوی و تشابه دو مثلث

ویکی‎کتاب، کتابخانهٔ آزاد
پرش به ناوبری پرش به جستجو

مفروضات:

  • شما می‌دانید یک مثلث چیست.
  • شما بلدید اندازه یک زاویه را با نقاله به دست بیاورید و با زاویه‌های یا آشنایی دارید.
  • شما می‌دانید که در دو مثلث که اندازه متفاوتی دارند، زاویه‌ها می‌توانند با هم مساوی باشند.

تعریف عبارات[ویرایش]

.
مثلث متساوی‌الساقین مثلث متساوی‌الاضلاع
مثلث متساوی‌الساقین مثلث متساوی‌الاضلاع

مثلث متساوی‌الساقین[ویرایش]

مثلث متساوی‌الساقین مثلثی است که دو ضلع آن با هم مساوی باشند. مثلث متساوی‌الساقین یک شکل متقارن است.

تمرین: چهارضلعی با چهار زاویه متفاوت

یک چهارضلعی که دو ضلع آن مساوی باشند الزاماً یک شکل متقارن نیست. همچنین در چنین چهارضلعیی ممکن است همه زوایا با هم متفاوت باشند. کار شما در این تمرین این است که یک چهارضلعی بکشید که دو ضلع مساوی داشته باشد ولی همه زوایای آن با هم متفاوت باشند.

مثال: بررسی اینکه یک مثلث متساوی‌الساقین هست یا نه.

مثلثی متساوی‌الساقین است که یکی از موارد زیر در آن صدق کند:

  • دو ضلع آن مساوی باشند.
  • دو زاویه آن مساوی باشند.

اگر یکی ازین دو در مثلثی صدق کند دیگر هم به صورت خود به خود صدق خواهد کرد.

.
مثلث متساوی‌الساقین مثلث متساوی‌الاضلاع
مثلث متساوی‌الساقین مثلث متساوی‌الاضلاع

مثلث متساوی‌الاضلاع[ویرایش]

مثلثی متساوی‌الاضلاع است که هر سه ضلع آن با هم مساوی باشند.

هر مثلث متساوی‌الضلاع، متساوی‌الساقین هم هست چرا که اگر سه ضلع با هم مساوی باشند پس می‌توان دو ضلع مساوی هم پیدا کرد.

مثال: بررسی اینکه یک مثلث متساوی‌الاضلاع هست یا نه.

مثلثی متساوی‌الاضلاع است که یکی از موارد زیر در آن صدق کند:

  • سه ضلع آن مساوی باشند.
  • سه زاویه آن مساوی باشند.

اگر یکی ازین دو در مثلثی صدق کند دیگر هم به صورت خود به خود صدق خواهد کرد.

تساوی و تشابه دو مثلث[ویرایش]

اگر دو مثلث اندازه و شکل یکسان داشته باشند، می‌گوییم آن دو مثلث مساوی هستند. دو مثلث شکل زیر مساوی نیستند زیرا با اینکه شکل یکسان دارند (زاویه‌های آنها با هم مساوی است) ولی اندازه آنها با هم فرق می‌کند. در این صورت می‌گوییم این دو مثلث متشابه هستند.

دو مثلث متشابه
  • اگر بتوان با جابجا کردن، چرخاندن، و یا تغییر اندازه دو مثلث آنها را روی هم منطبق کرد، آن دو مثلث متشابه‌اند.
  • اگر بتوان با جابجا کردن و چرخاندن دو مثلث را روی هم منطق کرد، آن دو مثلث مساوی اند.
چگونه بفهمیم دو مثلث مساوی‌اند؟

وقتی دو مثلث مساوی باشند، هر سه ضلع و هر سه زاویه آن دو مثلث با هم مساوی اند؛ ولی برای اینکه ثابت کنیم دو مثلث مساوی هستند لازم نیست هر شش تای اینها را با هم مقایسه کنیم، چرا که برای مثال وقتی بدانیم سه ضلع دو مثلث با هم برابرند می‌توانیم مطمئن باشیم که سه زاویه آن‌ها هم با هم برابرند. با اضلاع ۶، ۷ و ۸ سانتی‌متر فقط یک مثلث می‌توان کشید.

به طور کلی چهار روش برای اثبات این که دو مثلث با هم مساوی هستند وجود دارد.

  1. روش ض‌ض‌ض یا سه ضلع: وقتی سه ضلع دو مثلث با هم برابر باشند، آن دو مثلث با هم برابرند.
  2. روش ض‌زض یا دو ضلع و زاویه بین آنها: وقتی در دو مثلث دو ضلع و زاویه بین آنها با هم برابر باشند، آن دو مثلث با هم برابرند.
  3. روش زض‌زیا دو زاویه و ضلع بین آنها: وقتی در دو مثلث دو زاویه و ضلع بین آنها با هم برابر باشند، آن دو مثلث با هم برابرند.
  4. روش وتر و یک زاویه تند (فقط برای مثلث‌های قائم‌الزاویه): اگر در دو مثلث قائم‌الزاویه وتر و یکی از زاویه‌های تند با هم برابر باشند، آن دو مثلث با هم برابرند.

از آنجا که فقط یک شکل مثلث متساوی‌الاضلاع وجود دارد که می‌تواند بزرگ یا کوچک باشد، همه مثلث‌های متساوی‌الاضلاع با هم متشابه‌اند. این مسئله در مورد مثلث‌های متساوی‌الساقین صادق نیست زیرا شکل مثلث متساوی‌الساقین بسته به ضلع سوم آن تغییر می‌کند.

تمرین ۱: مثلث متساوی‌الاضلاع

یک مثلث متساوی‌الاضلاع بکشید. اندازه زاویه آن را با نقاله به دست بیاورید. این اندازه چقدر است؟

پاسخ در انتهای صفحه

تمرین ۲: صحیح یا غلط؟

صحیح یا غلط: همه مثلث‌های متساوی‌الاضلاع با هم مساوی‌اند.

پاسخ در انتهای صفحه

شناسایی مثلث‌ها
.
Equilateral Triangle 45-45-90 Triangle 30-60-90 Triangle 50-60-70 Triangle 20-40-120 Triangle
الف: مثلث با زوایای ۶۰-۶۰-۶۰ ب: مثلث با زوایای ۹۰-۴۵-۴۵ پ: مثلث با زوایای ۹۰-۳۰-۵۰ ت: مثلث با زوایای ۷۰-۶۰-۵۰ ث: مثلث با زوایای ۱۲۰-۴۰-۲۰
  • تمرین ۳: کدام دو مثلث متساوی‌الساقین هستند؟
  • تمرین ۴: کدام مثلث زاویه باز دارد؟
  • تمرین ۵: آیا هیچ‌یک از مثلث‌ها با یکدیگر مساوی هستند؟

پاسخ در انتهای صفحه

پاسخ تمرین‌ها[ویرایش]

تمرین پاسخ
تمرین ۱
تمرین ۲ غلط. دو مثلث متساوی‌الاضلاع ممکن است اندازه‌های متفاوتی داشته باشند و نتوان روی هم منطبقشان کرد.
تمرین ۳ مثلث‌های الف و ب
تمرین ۴ مثلث ث
تمرین ۵ خیر.